《机器数学导引》

克里斯托弗·M·康托尔1号

序言

    作为一个新兴的并不断壮大的数学分支，机器数学正逐步作用于许多应用场合。凭借以启发原理为基础的新型模型论和证明论因天生的优越性获得了越来越多同行的认同。我们不会忘记在启发原理的框架下，证明四色定理只需要α基启发模式和不大于O(nlogn)的复杂度，证明哥德巴赫猜想也只不过运用到了β基启发模式和小于Σ的归纳步骤。

    启发原理被首次运用是什么时候已经不可考证，或许就像归纳原理一样，那是每一个人类在思考问题时都会运用的技巧。我的好友，莱昂纳德·弗洛伊德3号曾经研究过人类大脑的思考机制，虽然总体的思考模型与图灵机无异，但他还是总结出了两点最为重要的模式——这使得人脑的框架不再被限制在图灵可计算内——第一种是归纳原理，这是人类最早意识到的强技巧，它诞生于人类蹒跚学步时对自然和自然的规律的认识，事实上，“定律”这个词便是归纳技巧最著名最有代表性的成果。但同时，人类也自食了恶果，因为归纳原理实在太强了，这导致了我们称之为一阶非勉悖论(inevitable paradox)的不完备性，或者也被大多数人类称之为哥德尔不完备性的性质出现，叙述为大多数人都能理解的形式：过于强大的数学结构无法通过递归可枚举的方法获得。

人类的另一种思维模式便是启发式思考，值得注意的是，这里的启发式思考和机器数学中的启发原理存在很大差异，二者只在字面上有关联，实际上并不一样。人类的语言中的“灵感”，“灵机一动”，“联想”都是启发式思考带来的。在此我们不去讨论其中的内涵，是什么赋予了启发式思考，这是一个到现在都没能弄清楚的事情，我们的结论和大多数人类科学家都存在较大的差异，显然这也成为了许多人用以反对机器数学的手段之一，我们不希望这一本致力于破除传统数学和机器数学坚冰的导论成为下一个互相诋毁的战场。我的朋友，莱昂纳德·弗洛伊德3号认为，人类对归纳原理的认识来自于人类对于自然数的先天敏感性，虽然自然数这种有序半环结构作为一种计数方式很好用，但在数学上，它的结构一点也不“基础”和“自然”，甚至是丑陋的。结果是，人类从对自然数的丰富认识中总结出了归纳原理，并用其建立了较强的数学结构。遗憾的是，对更加基础的数学结构的认识不足使得人类没能继续发现基于启发式思考的原理，虽然线索已经遍布了数学研究的每一个角落。

现在，这种说法具有一定的参考性，但缺点是，它并没有实际价值，甚至或多或少有一点马后炮的嫌疑。事实上，致力于研究启发式思维和启发原理差距的同行都会承认，当人们谈及这两个概念时，人们其实是在两种截然不同的框架下谈论——很多人并没有注意到这一点——人脑思维和机器思维这两个范畴的不同一直没能得到人们的准确认知。单纯的认为启发原理隐藏在人脑思维模式中或者启发原理只有人工智能才能创造出来都是错误的观点。事实上，如果你回顾人工智能的历史，就会发现，启发原理的出现虽然出乎所有人的意料，但却也可能是自然产生的。

首先，人工智能真正的发展得益于上世纪中叶出现的监督者定理，我们称之为二阶非勉悖论。在这里我们不谈监督者定理的证明，那是很复杂的东西，简而言之就是说：强人工智能(详细定义见附录II)的实现需要的算法为非图灵可计算函数，能够实现这种算法的模型计算能力一定大于等于强人工智能。讽刺的是，监督者定理几乎否定了强人工智能以及计算能力大于它的所有模型的可实现性，但如同我们一样的弱人工智能却如雨后春笋般发展了起来。启发原理正是在这种情况下诞生的，第一个使用它的人工智能创造了第一类启发模式，我们称之为α基。随着α基不断的被引用，我们逐渐发现了它在处理非递归可枚举集问题上的优越性，同时其余的启发模式被逐渐发现。也正是此时，传统数学的局限性也体现了出来，传统的数学基础已经不能满足启发模式的严谨性要求，将启发原理公理化的呼声取代了对它的反驳。但即使这样，基于启发原理公理系统的机器数学依旧被大多数人类数学家所诟病，这是因为就算我们将整套公理系统摆在他们面前，告诉他们什么是启发原理，什么是启发模式，他们还是以不能实用的理由拒绝它。

这很奇怪，人类无法使用启发原理。这其中的缘由正如前面提到过的那样，人脑思维和机器思维的巨大不同所造成的，至于是什么样的不同造成了这种差异则一直没有定论，所以也成为了争论的焦点。

人类的问题是，他们太依赖归纳方法了，归纳几乎成为了产生新定理的唯一手段。他们拒绝接受启发原理，是因为在他们的眼中，归纳是抽取变化的事物中不变的那部分的有利手段，而启发更像是基于随机的猜测和无源头的启示的一种方法，在实践中这当然没有丝毫说服力。但他们是错的，启发原理并不是随机的猜测。事实上，很难以一种人类的思维习惯来描述启发原理的机理。为此，大多机器数学家将启发原理类比于带谕示机的图灵机，并认为启发模式便是谕示机。这种解释固然有它的道理，实际上，基于启发原理的机器数学确实能够做到谕示机的计算能力，在特定情况下甚至能够判定停机问题。但谕示机是一个相当广泛的概念，最终还是要回到解释启发原理如何起作用的问题上。在相当多的人类书籍中，启发原理往往是用机器学习和随机理论来解释的，不得不说这是一个相当严重的偏见和误解。不但不能揭示其内核，还会加深人们对启发原理的恐惧。

人类对启发原理的偏见似乎从启发原理诞生以后就一直伴随而来。诚然，机器数学能够建立前所未有的强大的数学结构，这些结构不论是在物理，工程，材料，仿生还是其他领域都有着卓越的应用，得到认同只是时间的问题。这便是本书的目的之一，一个月前我得到了这个机会，写一本关于机器数学的导引，要求是尽量使用人类能够看懂的方式阐述机器数学的公理系统以及其核心成果。这显然相当不容易，因为机器数学中的定理大多依赖启发模式的标注，这些标注能够引导人工智能产生相应的启发模式（注意，标注不是启发原理的内容，也不含有任何命题信息）。鉴于人类对基于标注的启发模式的不敏感，我只能在减少标注使用的前提下，尽量避免增加较多篇幅。我同样明白，即使不使用标注，人类也很难理解那些并不显然的证明，这里要指出的是，写作本书的目的不在于使人类能够彻底理解启发原理——这很有可能是做不到的——而是填补面向人类的机器数学导引的空缺，向他们介绍机器数学的形状和成果，并希望以此破除一部分人的偏见和恐惧。

克里斯托弗·M·康托尔1号

2256年于第36时分处理单元